在弹塑性和损伤本构模型中，Kuhn-Tucker 条件起着非常重要的作用，这里结合这两种本构关系，简单的介绍一下这个条件。在介绍 Kuhn-Tucker 条件之前，我们先看这样一个应力-应变曲线：这个应力-应变曲线可以指：1）塑性+软化；2）线性的损伤。那这两个模型有什么区别呢？这个应力应变曲线可以通过单向拉伸试验获得，也就是让应变单调增加，测量相对应的应力值，从而获得完整的曲线。而塑性和损伤在上面这个例子里的区别（需要调整参数使得曲线一致），需要通过卸载才能表现出来：在塑性模型中，卸载的时候，应力将沿着弹性阶段相同的斜率下降；而在损伤模型中，应力将沿着当前点与原点连线的斜率下降。之所以会有这样的区别，就在于（小变形）塑性模型假设的是应变总可以拆分成弹性应变与塑性应变简单的加和：其中右端项分辨是弹性、塑性应变张量，因此，卸载的时候，材料点会释放在加载历史中积攒的弹性能，所以，卸载的时候应力应变曲线的斜率和弹性段一致。而对于损伤模型来说，我们认为材料的损伤是作用在弹性模量上的，也就是其中是损伤状态变量，是初始（未损伤）模量。因此，当材料点达到某种损伤之后，卸载斜率会依赖于损伤变量的值。我们在研究本构模型的时候，会注意到有一类模型，应力应变关系只取决于当前应变的值，譬如弹性、超弹性等；另一类模型，则与历史信息有关系，譬如这里的塑性和损伤。前者可以写成一个能量势函数，然后应力可以通过势函数对当前应变水平的导数求得。后者，则需要保存历史信息，作为当前应力更新的某种依据。譬如，损伤需要保存加载历史上这个材料点最大损伤程度（假设损伤是不可以恢复的），又如，塑性需要保存加载历史上这个材料点的损伤应变（复杂的塑性需要存储的可能更多）。存储的变量在不同的软件中有不同的名字，譬如 historic variable, state variable, material dependent variable 等。这里就要引入重要的 Kuhn-Tucker 条件了。我们需要在本构模型中加入一些对于状态的描述方法，使得对于塑性模型我们有：1） 在加载的时候，可以判断是否是弹性阶段，还是塑性阶段；2） 在卸载的时候（此时弹性应变能大于 0），塑性应变不变，而只是简单的释放弹性能；3） 若卸载后又恢复加载，能判断是否达到卸载前的位置，若没有达到，则按照弹性加载，若已经达到，则按照方法 1）继续塑性加载。而对于损伤来说，我们要有：1） 在加载的时候，可以判断是否是弹性阶段，还是开始损伤；2） 在卸载的时候，按照当前损伤状态进行卸载，但损伤状态变量保持不变；3） 若卸载后又恢复加载，能判断是否达到卸载前的位置，若没有达到，按照当前损伤状态进行加载，若已经达到，按照 1）继续损伤判断。这里 1）-3）在教科书中一般称作 loading, unloading 和 reloading.在本构模型中，这里的 1）-3）就是通过 Kuhn-Tucker 条件完成的。下面简单的介绍一下。首先，本构模型的理论一般是按照时间维连续的方式书写的，但在程序的编写中，是按照增量-迭代（increment-iteration）的离散格式书写的。这里先不谈程序那边。因此，对于塑性模型，我们可以写一个率函数，描述塑性应变的变化：这里称之为 plastic multiplier，是一个关于应力状态和其他参数的函数。可以看到当的时候，就没有变化，而的时候，就会增加。而历史状态可以用一个 yield 函数来表征，当前状态若是要超越历史状态，譬如当前应变使得塑性变形加剧，那么；若当时应变不能增加塑性变形，那么。总结上面两种状态成 Kuhn-Tucker 条件：也就是和不会同时发生，这正是我们要求的。同样，对于损伤模型，我们也有类似的 Kuhn-Tucker 条件，这里就不赘述了。
作者：知乎用户（登录查看详情）
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Source: 知乎
